人口問題不僅是20世紀(jì)我國所面臨的最重大的問題之一，而且在新世紀(jì)中將繼續(xù)存在。無論是對(duì)我國目前經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r的認(rèn)識(shí)，還是對(duì)未來經(jīng)濟(jì)發(fā)展的預(yù)測(cè)，人口問題的研究都具有十分重要的意義。

　　眾所周知，人口的增長并不是按比例線性增長的，也就是說人口問題是非線性動(dòng)力學(xué)問題。在非線性系統(tǒng)中，可能會(huì)出現(xiàn)分岔現(xiàn)象，分岔理論為我們研究人口問題提供了一種新的方法。分岔和混沌是非線性系統(tǒng)特有的現(xiàn)象，而實(shí)際上我們所處的社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的絕大部分都是非線性，因此可以運(yùn)用分岔和混沌理論來研究。本文將分岔和混沌理論用以研究人口問題，提出了人口的跨臨界分岔。

　　一、模型的建立

　　設(shè)在時(shí)刻t（以年為單位）時(shí)的人口數(shù)量為p（t），則人口的增長率為，再假設(shè)出生率b（p，t）和死亡率d（p，t）不隨時(shí)間變化，則由馬爾薩斯人口理論可得：

　　其中：d[，1]=b（p，t）-d（p，t）＞0，一般而言出生率大于死亡率。

　　顯然馬爾薩斯模型存在著重大的缺陷，它沒有考慮到物種之間的競(jìng)爭(zhēng)、自然界的平衡和人文環(huán)境因素，即生活資料及空間的局限、人與人的競(jìng)爭(zhēng)、生產(chǎn)力水平、文化水平以及傳統(tǒng)觀念等因素。

　　生活資料及空間的局限和人與人的競(jìng)爭(zhēng)會(huì)導(dǎo)致沖突，對(duì)人口的增長起到制約的作用。統(tǒng)計(jì)規(guī)律顯示，從人口p（t）中隨機(jī)抽取一個(gè)人，他與其他人沖突的概率與人口總數(shù)成正比，即：沖突次數(shù)＝k[，1]p（t），那么個(gè)人沖突的總次數(shù)為。而制約作用也是隨著總次數(shù)的增長而增長的，同總次數(shù)成正比，以δ[，1]（p，t）表示制約作用，則：

　　可以認(rèn)為影響作用與生產(chǎn)力發(fā)展水平α[，2]成反比，與文化發(fā)展水平α[，3]成反比，與中國傳統(tǒng)觀念α[，4]成正比，與人口數(shù)量p（t）成正比，用δ[，2]（p，t）表示這種影響。

　　假設(shè)在未來的若干年內(nèi)，各地區(qū)的人口比例保持不變，則對(duì)于某個(gè)地區(qū)來說，機(jī)械遷徙的人口數(shù)量與該地區(qū)經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)程度α[，5]成正比，與遷出區(qū)的人口數(shù)量成正比，由于可以近似地認(rèn)為各地區(qū)的人口比例不變，所以可以認(rèn)為與該地區(qū)的人口數(shù)量成正比。

　　二、模型分析

　　運(yùn)用穩(wěn)定性分析方法，可以很容易地判斷其穩(wěn)定性。

　　圖中，實(shí)線表示穩(wěn)定，虛線表示不穩(wěn)定。由分岔圖可以看出該模型發(fā)生跨臨界分岔。由分岔圖可以看出，在α的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，當(dāng)α＞0時(shí)，人口數(shù)量是穩(wěn)定增長的；而當(dāng)α＜0時(shí)，從α系數(shù)的物理含義上看，說明死亡率大于其他影響因素系數(shù)之和，但是此時(shí)由于先前α＞0，人口數(shù)量已經(jīng)有所增加，所以能保持人口數(shù)量的穩(wěn)定，同時(shí)我們也可以看出只有短期內(nèi)保持α＜0，人口數(shù)量才會(huì)穩(wěn)定。

　　將再分岔出周期8解、16解等等，大約在3.56994時(shí)，進(jìn)入混沌區(qū)，如圖2所示。

　　三、模型的求解

　　設(shè)初始時(shí)刻t[，0]的人口為p[，0]，將（5）式分離變量后兩邊取定積分，進(jìn)行求解可得：

　　只要求出α和β，就可以運(yùn)用（9）式作人口預(yù)測(cè)。理論上，只要將兩年的年份與人口數(shù)量，即：t[，1]、P（t[，1]）、t[，2]、P（t[，2]）代入（9）式，則可得一個(gè)二元方程組，通過求解此二元方程組，便可以得到α和β值，但是此二元方程組為超越方程組，求解十分困難。

　　生態(tài)學(xué)家通過大量的統(tǒng)計(jì)，認(rèn)為不鼓勵(lì)也不限制生育時(shí)的α值為0.029，將α代入（9）式則可求得：，可以看出β會(huì)隨著所代入的t的不同而變化，不再是一個(gè)常數(shù)，而是一個(gè)變量；另一方面，我國實(shí)行計(jì)劃生育，限制了出生率，并且模型（5）中考慮了生活資料和空間的局限性、人與人的競(jìng)爭(zhēng)、生產(chǎn)力水平、文化水平以及中國傳統(tǒng)觀念等因素的影響，因此α的值不再是0.029.

　　基于上述原因，本文采用數(shù)值解法，即：確定適當(dāng)?shù)摩梁挺�，使得�?/p>

　　根據(jù)（11）式求解十分復(fù)雜，可以用Matlab或c語言編寫一段程序，在一定范圍內(nèi)搜索α與β值，使得（10）式成立。

　　四、實(shí)證分析

　　本文就河北省1952年～2000年人口數(shù)量進(jìn)行實(shí)證分析和檢驗(yàn)。眾所周知，在建國后近50年中，我國經(jīng)歷了3年自然災(zāi)害，80年代開始實(shí)行了計(jì)劃生育政策，這些都會(huì)改變動(dòng)力系統(tǒng)的特征，因此不能將這49年的數(shù)據(jù)看成是同一動(dòng)力系統(tǒng)的，而應(yīng)該將它們分成不同的動(dòng)力系統(tǒng)：1952年～1959年、1966年～1979年、1980年～1989年、1990年～2000年。3年自然災(zāi)害造成了人口數(shù)量的驟減，不僅改變了動(dòng)力系統(tǒng)的特征，而且還造成了1960年～1965年數(shù)據(jù)的不穩(wěn)定，應(yīng)予以剔除；80年代后實(shí)行計(jì)劃生育，但是1989年的學(xué)潮引起了大量人口的機(jī)械遷移，因此90年代視為另一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)。

　　由表1可以看出，使用本文所提出的方法，能夠較為精確地預(yù)測(cè)出人口的數(shù)量。四個(gè)階段的α均大于0.029，這表明生活資料和空間的局限性、人與人的競(jìng)爭(zhēng)、生產(chǎn)力水平、文化水平、中國傳統(tǒng)觀念、人口機(jī)械遷移以及實(shí)行計(jì)劃生育等因素的綜合影響，使人口趨于增多。相對(duì)人口增長率，即，總體上越來越小，80年代的攀升主要是由于人口遷移的影響，從整體上看人口自然增長率（一般小于人口增長率）也是逐年降低的。

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